Die Envelopment-Form folgt aus dem dualen Programm, so daß  unter den Nebenbedingungen  sowie . Der Effizenzparameter  gibt dann an, auf wie viel Prozent der Output eines Unternehmens erhöht werden muß, damit dieses mit den besten Unternehmen der Stichprobe auf der Frontierfunktion liegen kann. Um Unterschied zur Input-Isoquanten wird hier jedoch graphisch die Output-Transformationskurve zur Veranschaulichung verwendet.

Die im Beispiel gemachten Annahmen stellen of die Data Envelopment Analyse in der Producity-Form ab. Hierbei werden Daten inputorientiert Sich aus der linearen Quotientenprogrammierung in ein lineares Programm umgestellt, so daß mittels Simplex-Algorithmus ein Produktivitätsindex für die Unternehmen bestimmt werden kann.

Der Produktivitätsindex  gilt als Maßzahl des Verhältnisses von Input und Output des Unternehmens , das seinen Output zu einem Preis  absetzen kann, und das die Inputfaktoren zu den Preisen  sowie  erwerben muß. Folglich gilt, daß . Weiterhin gilt, daß  für , was darauf hinausläuft, daß der Index in einem Intervall zwischen 0 und 1 verläuft, wobei das beste Unternehmen, das die best-practice-Technologie hat, den höchsten Wert einnimmt.

Dieses lineare Quotientenprogramm kann dadurch in ein lineares Programm umgeformt werden, indem sowohl Zielfunktion wie auch Nebenbedingung(en) durch den Nenner der Zielfunktion dividiert werden. Hierbei gilt zudem, daß  sowie. Somit kann das ganze Optimierungsproblem folgendermaßen zusammengefaßt werden, nämlich mit  für  sowie . Im konkreten Fall und auf das Unternehmen A bezogen, gilt es damit folgendes Optimierungskalkül zu lösen.

mit

sowie 

Dies wird zur Grundlage des Simplex-Tableaus, das neben den gesuchten Werten auch die Schlupfvariablen aufweißt. Folglich ist von folgender Übersicht als Lösungsansatz auszugehen.

Als Ergebnis folgt, daß  mit , , sowie . Graphisch läßt sich dies wie nebenstehend illustrieren. Der Parameter gibt dabei den Effizienzgrad des Unternehmens an.

Aus der Graphik wird deutlich, daß Unternehmen A am effizientesten arbeitet. Die Aggregationsgewichte geben dagegen die Grenzproduktivitäten an, die zwischen den Unternehmen herrschen. Sie könnten durch eine entsprechende Kurve mit der Steigung der Frontierfunktion dargestellt werden. Die Aggregationsgewichte geben damit Auskunft über das Austauschverhältnis zwischen den einzelnen Produktionspunkten bzw. Unternehmen. Zur genaueren Analyse werden hierfür aber noch die Ergebnisse der Simplex-Tableaus der anderen Unternehmen benötigt, die hier jedoch nicht weiter erörtert werden sollen.

Das im Beispiel skizzierte Szenario läßt sich wie in der nebenstehenden Graphik veranschaulichen. Dabei zeigt sich, daß die unterstellte Gruppierung, die ja an dem Faktoreinsatzverhältnis festgemacht wurde, nicht gerechtfertigt ist. Darauf soll jedoch erst im Folgenden eingegangen werden.

Für die DEA bietet sich angesichts der Datenlage eine Analyse in der Producity-Form an. Dabei wird der aggregierte Output eines Unternehmens seinem aggregierten Input gegenübergestellt. Um den sich hieraus ergebenden Produktivitätsindex Aussagekraft zu verleihen, werden in der Nebenbedingung die anderen Unternehmen auf 1 normiert. Formal läßt sich dies zusammenfassen mit unter den Nebenbedingungen   für. Dieses lineare Quotientenprogramm läßt sich in ein lineares Programm, das dann auf dem Weg des Simplex-Algorithmus gelöst werden kann, umwandeln. Dazu werden Zielfunktion und Nebenbedingung durch den Nenner der Zielfunktion geteilt, was diese auf ein Intervall zwischen 0 und 1 normiert. Das Unternehmen mit dem höchsten Index arbeitet entsprechend mit der größten Effizienz.

Mit  und  ergibt sich dann das folgende Optimierungsproblem: mit  sowie  für . Das Simplex-Tableau nimmt exemplarisch nachfolgende Form an.

In der Envelopment-Form des DEA bemißt  die Effizienz eines Unternehmens als Abstand zur best-practice, während die Aggregationsgewichte darstellt. In der Graphik stellt  den relativen Abstand des virtuellen (effizienten) Unternehmens, als Projektion eines ineffizienten Unternehmens auf die Frontierfunktion zu den nächstgelegenen Unternehmen auf derselben dar. Bei der Umwandlung der primalen Producity in die duale Envelopment-Form gilt dann, daß  sowie . Im konkreten Fall gilt dann die folgende Zielfunktion samt Nebenbedingungen.

mit

Graphisch lassen sich die Werte auch dadurch herleiten, daß die Strecken zwischen dem Koordinatenursprung, dem Produktionspunkt der Unternehmen sowie der Frontierfunktion und möglichen Projektionen ineffizienter Unternehmen hierauf ins Verhältnis miteinander gesetzt werden. Im konkreten Fall wird ein virtuelles Unternehmen D’ im Schnittpunkt des Fahrstrahls aus dem Koordinatenursprung zum ineffizienten Unternehmen D gedacht. Für die Ermittlung gilt, daß . Da die Strecken identisch sind, muß  den Wert 1 annehmen. Die Graphik macht dies deutlich, indem Unternehmen A auf der Frontierfunktion liegt.

Anders für Unternehmen D. Hier gilt, daß  . Das bedeutet, daß das Inputniveau des Unternehmens D um 100% – 79,2% = 20,8 % reduziert werden müßte um mit derbest-practice Technologie auf gleicher Höhe zu sein. Das Faktoreinsatzverhältnis in Bezug zu den Unternehmen auf der Frontierfunktion wird mittels des Parameters  gemessen. Aus der Graphik läßt sich dieses dadurch ableiten, daß die Streckenverhältnisse zueinander ins Verhältnis gesetzt werden, wobei unterstellt wird, daß das ineffiziente Unternehmen auf ein bestehendes, effizientes Faktoreinsatzverhältnis projiziert wird. Folglich ergibt sich für Unternehmen D respektive D’, daß   sowie  . Diese Zahlen geben gewissermaßen die Opportunitätskosten an, die dem virtuellen Unternehmen D’ entstehen würden, wollte es das gleiche Faktoreinsatzverhältnis wie die best-practice-Unternehmen einnehmen wollen.

In dem beschrieben Beispiel wäre Unternehmen C solch ein Akteur, dessen virtuelle Projektion auf dem von Unternehmen A zu liegen kommt. Ausgehend von den gemachten Annahmen könnte dann gefragt werden, auf welches Niveau die Inputfaktoren eines bestimmten Unternehmens proportional reduziert werden müßte, um auf der Frontierfunktion zu arbeiten und aus Effizienzsicht von keinem anderen Unternehmen mehr dominiert zu werden. Die Lösung dessen brächte dann Erkenntnis darüber, ob das betrachtete Unternehmen überhaupt auf der Frontierfunktion arbeitet oder ob und wie viel die Ineffizienz ausmacht.

Der Parameter  bemißt die Effizienz eines Unternehmens. Das Optimierungsproblem ist dann mit der zuvor beschriebenen Producity-Form vergleichbar, so daß . Die Nebenbedingungen sind sowie . Wie zuvor durch den Parameter  gibt  an, auf wie viel Prozent die Inputmenge des Unternehmens  zu reduzieren ist, damit es mit der best-practice-Technologie produziert. Folglich handelt es sich hierbei um eine Kennzahl der technischen Effizienz. Der Parameter  geht als Gewichtungsfaktor ein, der benötigt wird, um Vergleichsunternehmen zum ursprünglich betrachteten zu konstruieren.

Gemäß der zuvor angewandeten Charnes-Cooper-Transformation erlaubt die Dualität der Programme die folgende Umformung

sowie

Dieses Minimierungsproblem kann auch dadurch gelöst werden, daß das dazugehörige Maximierungsproblem mittels des Simplex-Algorithmus bearbeitet wird. Folge dessen ist, daß die Lösung des einen auch die Lösung des anderen mit sich bringt. In dem beschrieben Fall, daß  sowie .

Mit Bezug auf die nebenstehende Graphik ist es offensichtlich, daß beispielsweise Unternehmen C und F schlechter produzieren, als dies die Unternehmen A, B und E tun. Diese Akteure jedoch miteinander zu vergleich, sollte nach dem Pareto-Koopmans-Kriterium unterlassen werden. Zwar benötigt das eine Unternehmen mehr an Input des einen Produktionsfaktors, dafür im Vergleich zu einem anderen Unternehmen aber weniger Input des anderen Produktionsfaktors. Aus diesem Grund und ohne nähere Kenntnis der Preisgerade der beiden Produktionsfaktoren sind die Unternehmen A, B und E zunächst als gleichwertig anzusehen.

Unter einer Frontieranalyse versteht man die Ermittlung der best-practice-Technologien der Unternehmen anhand derer und relativ zu ihr man dann die Effizienz anderer Unternehmen in der Stichprobe ermitteln kann. Genau genommen handelt es sich dabei um die Ermittlung der Steigung der Frontierfunktion zwischen den Rand-Unternehmen (daher auch der Namen). Dies läuft auf ein Maximierungsproblem hinaus, das mittels Simplex-Algorithmus gelöst werden kann.

Mit Hilfe der DEA können verschiedene Unternehmen anhand bestimmter Merkmale miteinander verglichen werden. In der Producity-Form wird dabei auf die Frontierproduktionsfunktion des besten Unternehmens abgestellt, die dann als Referenzmaß für die Ermittlung der Effizienz der anderen Unternehmen herangezogen wird.

Zur Bestimmung der Frontierproduktionsfunktion benutzt man in der DEA die Methode der linearen Programmierung. Hierbei werden Produktivitätskennzahlen versucht zu identifizieren, die in dem Intervall  verteilt sind. Die besten Unternehmen nehmen dabei Werte nahe oder gleich Eins an. Für diese Art der Normierung maximiert man den Produktivitätsindex eines Unternehmens unter der Nebenbedingung, daß de Produktivitätsindizes der anderen Unternehmen nur Werte innerhalb des Intervalls annehmen. Das Ergebnis dessen ist dann die gesuchte Effizienzmaßzahl.

Betrachtet man den Produktivitätsindex irgendeines Unternehmens, so könnte man dessen aggregierten Output dem aggregierten Input in linearer Form gegenüberstellen, daß , wobei  sowie  die gegebenen Input- wie auch Outputgrößen darstellen und  sowie  als die Aggregationsgewichte in Form von Preisen oder Multiplikatoren firmieren. Die Nebenbedingung lautet dann .

Da Zielfunktion und Nebenbedingung als lineare Quotientenprogrammierung gegeben sind, ist es ratsam, diese mittels der Charnes-Cooper-Transformation in ein Problem der linearen Programmierung umzuwandeln, welches dann mittels Simplex-Algorithmus zu lösen ist^*. Dafür werden Zähler und Nenner der den Nenner der Zielfunktion dividiert und somit der Nenner der Zielfunktion auf Eins normiert. In dem vorliegenden Fall bedeutet dies eine Division durch . Mit sowie  reduziert sich das Optimierungsproblem sodann auf  unter den Nebenbedingungen  und . Wegen des Gleichheitszeichens in der zweiten Nebenbedingung darf hier keine Schlupfvariable bei der Anwendung des Simplex-Algorithmus zum Einsatz kommen.

Mit Bezug auf nebenstehenden Ausgangswerte und den gegeben Daten stellt sich für Unternehmen C das Maximierungsproblem in Quotientenform dann wie folgt dar. Die Zielfunktion ist. Die Nebenbedingungen lauten dann für Unternehmen A; für Unternehmen B; für Unternehmen C; und für Unternehmen D. Die Charnes-Cooper-Transformation kann erfolgen mit  sowie  mit . Damit ergibt sich als lineares Programm das folgende Bild:

sowie .

Die Lösung des Simplex-Tableaus soll nicht hier vorgenommen werden. Stattdessen wird hierfür auf die entsprechende Literatur verwiesen, wo das Vorgehen näher beschrieben ist.

Graphisch läßt sich die Situation wie dargestellt illustrieren. Es zeigt sich, daß Unternehmen A scheinbar am effizientesten arbeitet. Die Aggregationsgewichte lassen sich graphisch auch als Preise verstehen. Die Preisgerade gibt dann Auskunft darüber, auf wie viel des einen Inputfaktors ein Unternehmen verzichten muß und wie viel es im Gegenzug von dem anderen Inputfaktor verwenden kann, um dennoch effizient zu arbeiten. Mit dem Blickwinkel vom Koordinatenursprung gibt der Produktivitätsindex schließlich Auskunft, welche der verwendeten Technologien effizient ist.

Die Graphik zeigt, daß Unternehmen B sowohl technisch als auch allokativ effizient arbeitet. Die Unternehmen A, B und E arbeiten technisch effizient, d.h. sie wenn die best-practice-Technologie an, die in diesem Fall auch deren actual-practice ist. Unternehmen F ist allokative effizient, da es in einer Flucht (Fahrstrahl) mit Unternehmen B liegt, jedoch bei weitem nicht an die strichierte Isoquante heranreicht, die die technisch effiziente Lösung illustriert. Unternehmen D und möglicherweise auch Unternehmen G arbeiten in keiner Weise effizient. Zwar liegt Unternehmen A auf der Isoquante der technisch effizienten Lösungen, jedoch ist die allokative Effizienz nicht gegeben, da die Steigung und somit der Tagentialpunkt des Preisverhältnisses von Arbeit und Kapital nur auf Höhe des Unternehmens B anliegt.

Diese Unterschiede in der allokativen Effizienz lassen sich auch numerisch feststellen. Dazu wird davon ausgegangen, daß alle Unternehmen mit der gleichen Produktionsfunktion arbeiten und sich insofern lediglich durch den Niveauparameter  unterscheiden. Mit Hilfe der Produktionsfunktion  und einer gegebenen Produktionsmenge ergibt sich aus dem Ergebnis des Lagrange-Ansatzes – d.h. nach durch partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach dem jeweiligen Produktionsfaktor, mithin bzw.  – die folgende Übersicht.

Es zeigt sich auch hier, daß Unternehmen B und F die allokative Effizienz aufweisen. Sie haben das jeweils kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis gewählt. Alle anderen Unternehmen sind allokativ ineffizient. Hierbei kann jedoch abgelesen werden, daß bei relativ viel vom Produktionsfaktor Kapital eingesetzt werden; bei  dagegen relative viel Arbeit Verwendung findet.

Von der allokativen zur technischen Effizienz ist es sodann nur noch ein kleiner Schritt. Hierbei wird untersucht, ob die Unternehmen auf der effizienten Produktionsfunktion – verstanden auch als effizienter Technologierand – produzieren. Dabei kann jedoch realistischer Weise nicht auf die optimal-practice abgestellt werden, sondern auf die best-practice-Technologie des führenden Unternehmens.

Als Referenzmaß wird daher letztlich der Niveauparameter  als Produktivitätskennzahl herangezogen. Ausgehend von einem gegebenen Output-Niveau von beispielsweise  wird die ursprüngliche Produktionsfunktion umgestellt, so daß . Daraus ergibt sich folgende Übersicht, die dann wieder auf das Niveau des führenden Unternehmens normiert wird.

Die letzten Zeilen der Tabelle sind identisch, da mit gleichen Produktionsmengen gerechnet wurde. Die Rangfolge ergibt sich dadurch unmittelbar. Es zeigt sich, wie die Graphik bereits vermuten ließ, daß Unternehmen A, B und E technisch effizient arbeiten. Die Werte  der anderen Unternehmen geben an, auf welchem Niveau, verglichen zu den genannten Akteuren, sie sich tatsächlich in Bezug auf deren best-practice befinden. Unternehmen C müßte folglich seine Technik um0,34 % verbessern, ehe es zu den Branchenführern aufschließen kann.

Zusammengefaßt zeigt sich also, daß ausschließlich Unternehmen B sowohl allokativ wie auch technisch effizient arbeiten. Dies wurde durch die Graphik bereits vorausgesagt und im Anschluß mit Zahlenmaterial untermauert.

Es muß also unterstellt werden, daß alle Unternehmen ein homogenes Gut produzieren, daß zu einem einheitlichen Marktpreis von 5000 vollständig auf dem Markt abgesetzt werden kann. Für die Produktion des Gutes haben alle Unternehmen Zugang zu Arbeit und Kapital, daß auf den jeweiligen Märkten zu einem einheitlichen Preis angeboten wird, Kapital für 0,1 und Arbeit für10. Es soll ein Produktionszusammenhang von angenommen werden. All dies kann man nun mittels Erlös  und Kosten  zum Gewinn  der Unternehmen zusammengeführt werden. Dies resultiert in der Übersicht.

Die Aufstellung macht deutlich, daß Unternehmen B je Stück des produzierten Gutes den größten Gewinn erzielt. Die Unternehmen A und E nehmen den zweiten Rang ein, obwohl sie unterschiedliche Kostenstrukturen haben. Zur Analyse der Kostenstruktur sollen dies im Vergleich zum effizientesten Unternehmen normiert werden. Die folgende Übersicht gibt dann Auskunft darüber, auf wie viel Prozent die Kosten der Produktion gesenkt werden müßten, daß die anderen Unternehmen auf das Niveau der Produktivität des besten Unternehmens, hier Unternehmen B, zu kommen.

Dies sagt jedoch nichts darüber aus, ob die Unternehmen effizient im Sinne des optimalen Outputs arbeiten, da hier lediglich in Bezug und relativ zu dem Unternehmen argumentiert und dessen actual-practive-Technologie wird, das den größten Gewinn macht. Ob dieses jedoch selbst die best-practice-Technologie einsetzt, ist nicht bekannt.